Bon, ben, comme promis, je vais écrire ce petit billet doux sur la soutenance et les recherches de Monsieur le Docteur Jean-Baptiste Gramain (pfffffffffffff, que c'est pompeux et que ça nous vieillit !).
Je le dis tout de suite pour les vrais matheux : zappez, y'a rien à voir ici, j'ai rien compris à rien et mon résumé va être pitoyable. Pour les autres, vous pouvez rester, ça va peut-être vous amuser...

Donc : de la théorie des blocs généralisée... Petit cours de vulgarisation...
Prenez un groupe, coupez-le en tranches et cherchez les cas où ça se comporte bien (isométries parfaites - généralisées ou non -, groupes symétriques, groupes linéaires finis...). Vous pouvez travailler sur les blocs tout simples, les p-blocs, les Pi-blocs, les l-blocs et les d-blocs (en fait, ce sont ces derniers qui me font le plus rigoler, allez savoir pourquoi).
Bon, en résumé, vous prenez tout ça, vous associez un groupe et une matrice de Cartan, vous voyez aussi Suzuki, on ne sait jamais, ou Ree, vous cherchez si Brauer peut être plus ou moins appliqué de façon un peu translatée, et c'est parti pour un théorème de Gramain.
C'est bon ? Vous avez tout aussi bien compris que moi ? ? ? C'est bien !

Bon, JB, excuse-moi, je suis désolée d'être aussi nulle. Mais, en revanche, tu m'as beaucoup fait rêver...
Tu savais déjà que les isométries parfaites avaient inspiré la miss Dunja dans ses trips poétiques. Je dois dire qu'en ce qui me concerne, les groupes cyclotomiques m'ont beaucoup apporté au niveau du vécu (je crois que je fonctionne un peu comme un groupe cyclotomique, en fait, tu n'as jamais remarqué ?).
Un autre truc m'a particulièrement fait planer durant la soutenance, c'est ta partition lambda(4,4,2,1) de n=11 pour l=3. Je n'en reviens toujours pas que le l-coeur de lambda soit toujours le même quel que soit l'ordre dans lequel on retire les l-crochets. Et ce poids trinitaire auquel on aboutit, c'est quasiment divin ! Je comprends que tu aies pu t'imprégner de ce genre de résultats pendant trois années entières (c'est trinitaire aussi, tu es maintenant marqué du sceau de l'esprit - ou du sot, va savoir...). Bon, par contre, je dois bien avouer que je n'ai pas compris ce que tu en fais ensuite. Mais c'est pas grave, c'est ce qui rend ces résultats si beaux et si incompressiblement artistiques !

Comme promis, bien que je ne comprenne pas le sens caché du truc (et si ce sens est visible, c'est encore plus impardonnable pour moi...), je vais ici essayer de reproduire le théorème 18 de la soutenance de JB - théorème que l'on peut nommer du nom de son inventeur... Comme nous avions le théorème de Riemann ou le théorème de Pythagore, voici voilà, Mesdames et Messieurs, le théorème de Gramain ! (enfin, l'un des nombreux théorèmes de Gramain, faut pas déconner quand même, il a eu trois ans pour les pondre, c'est normal qu'il en ait trouvé plus d'un - eh, JB, je rigoleuh ! Même avec un seul tu m'as grave killée ma race !).
Accessoirement, ça va être un peu compliqué à écrire dans la mesure où je ne parviens toujours pas à utiliser les caractères spéciaux dans ce blog, mais bon... Vous allez quand même trouver ça joli, c'est promis !
Ah, et je me permets de préciser qu'il y a là une notation un peu abusive (je l'ai bien compris durant la soutenance, même que je l'ai écrit dans la marge de ma copie du transparent), mais c'est compréhensible et excusable dans la mesure où le poids est un invariant du bloc. Autrement, tout coule de source, vous verrez...

Le théorème 18 - de Gramain - en français

Je précise que c'est en français parce que, quand même, la thèse est rédigée en anglais... Mais vous aurez la version anglaise. Et je vous rassure, j'ai assisté à une soutenance en français, avec juste un tout p'tit peu d'anglais pour faire joli, et un prof. allemand avec petit accent et autres accessoires pour faire encore plus joli (Meinolf Geck pour les intimes).

J'y vais... Les non-matheux peuvent aller directement au paragraphe suivant (mais c'est dommage de se priver de ça... Enfin, ce que j'en dis, moi !...).
Au fait, ce que je note Sn, c'est un groupe symétrique. <= c'est "inférieur ou égal que". <>, ça veut dire "différent de", j'ai pas de égal barré, alors je fais comme en turbo pascal... Je mets E pour "appartient", "est élément de" parce que je n'ai pas de E rond. w c'est w et non oméga (comme weight, le poids, je crois, mais ça ne change pas grand chose). Pi c'est comme pi (3,14 etc) mais je n'ai pas ici le caractère pi ni minuscule ni majuscule - et pis c'est pas grôve non plus, c'est pas la valeur de pi qu'on prend en compte, c'est juste une lettre grecque. X c'est khi, encore une lettre greque que je ne peux pas écrire. Euh, Psy, c'est la lettre psy que je ne peux pas écrire. Et pis y'a un lambda des fois en indice des fois en gros que je ne sais pas trop comment noter. Disons lambda quand il est gros et indlambd quand il est en indice (bref, ça va être illisible, promis je vous mets un lien vers le site où est hébergé la thèse dès qu'elle est hébergée...). Ah, un dernier truc : quand je mets ^k, ça signifie puissance k. Bref, si vous vous y retrouvez, vous êtes des chefs (ce dont je ne doute pas une seconde !). Et la belle formule de la fin, et bien elle devient moche et illisible. Merci Marie !

Allez, ce coup-ci, on y va !

Soient 2 <= l <= n des entiers, soit PI l'ensemble des nombres premiers divisant l, et soit B un l-bloc de Sn de poids w. Alors :
(i) Si w=0, alors B={Xindlambd} pour une partition lambda de n, et Xindlambd est d'ordre 1 dans le l-groupe de Cartan.
(ii) Si w<>0, et si Xindlambd E B, alors l'ordre de Xindlambd dans le l-groupe de Cartan est la pi-partie du produit des crochets de longueur divisible par l dans lambda.
(iii) Si l=p^k pour un nombre premier p et k >= 1, et si X, Psy E B, alors

o(X)/o(Psy) = p^d(X)/p^d(Psy)

Oh là là, c'était superbe !
Je me suis légèrement cassé le cul pour écrire ça alors qu'il me suffisait de scanner le texte, mais d'abord je l'ai annoté de partout et ensuite j'aime ce côté "artistiquement fait maison" dans lequel JB doit me reconnaître...

Le même en anglais

Et, ce qui est trop fort, c'est que dans la thèse, il porte le numéro 3.14, comme Pi, qui a été si décisif sur la carrière de papa, et certainement sur celle de JB il y a un peu plus longtemps... Il y a de ces hasards, quand même ! Ou, était-ce fait exprès ? JB, sur ce coup-là, tu nous dois une explication...

Allez, sans tarder, le voici, le voilà ; on l'attendait, il est enfin là !

Let 2 <= l <= n, and let B be an l-block of Sn of weight w. Then :
(i) If w=0, then B={Xindlambd} for some partition lambda of n, and Xindlambd has order 1 in the Cartan group Cart(l, Sn).
(ii) If w<>0, and if Xindlambd E B, then the order of Xindlambd in Cart(l, Sn) is (Pi(l) - HLindlambd)indpi where Pi is the set of primes dividing l (i.e. o(Xindlambd) is the pi-part of the product of the hook lengths divisible by l in lambda).
(iii) If l=p^k for some prime p and k >= 1, and if X, Psy E B, then

o(X)/o(Psy) = p^dp(X)/p^dp(Psy)

Voili voilà, on est arrivé au bout de ce résultat énorme (je pèse mes mots - et mes maux). Pardonne-moi, JB, d'avoir ainsi tranformé tes belles formules en une bouillabaisse infâme !
L'idée, c'était juste de faire partager tes délires à tous ceux qui seraient preneurs. Et de leur donner envie de voir le vrai texte plutôt que mes barbaries...
Allez, sans rancune, vieux ! ? ?

P.S. Faut quand même que je dise, depuis le temps que ça me turlupine les cases du cervelet, que j'adore les mathématiciens qui croient qu'un i petit est une façon d'écrire le I romain en minuscules... J'ai du mal à l'exprimer, mais c'est en gros ça. Quelle bande de comiques, quand on y réfléchit ! ;o)

P.S.2 Et j'ai même pas fumé avant d'écrire ce billet, pour qui est-ce que vous me prenez ?